Giải phương trình $A.\log _a^2f(x) + B.{\log _a}f(x) + C = 0$

Phương trình \( A \log_a^2 f(x) + B \log_a f(x) + C = 0 \) là dạng phương trình logarit quan trọng trong toán học, giúp giải quyết nhiều bài toán thực tế và học thuật. Đây là phương trình bậc hai theo \( \log_a f(x) \), cho phép ta biến đổi về dạng quen thuộc và tìm nghiệm dễ dàng. Nếu bạn muốn nắm vững cách giải phương trình \( A \log_a^2 f(x) + B \log_a f(x) + C = 0 \), hãy theo dõi hướng dẫn chi tiết tại đây!

1. Phương pháp giải phương trình $A.\log _a^2f(x) + B.{\log _a}f(x) + C = 0$

Cách 1:

Phương trình có dạng \( A \log_a^2 f(x) + B \log_a f(x) + C = 0 \) (1) là một dạng đặc biệt của phương trình logarit, trong đó ẩn số nằm bên trong hàm logarit. Đây là phương trình bậc hai theo biến trung gian \( t = \log_a f(x) \), giúp chuyển đổi phương trình logarit thành phương trình đại số quen thuộc dạng bậc hai:

\( At^2 + B.t + C = 0 \). (2)

Việc giải phương trình này thường bao gồm các bước:

1. Đặt ẩn phụ: Đặt \( t = \log_a f(x) \), khi đó phương trình trở thành một phương trình bậc hai theo \( t \).
2. Giải phương trình bậc hai: Dùng công thức nghiệm để tìm các giá trị của \( t \).
3. Trả về biến ban đầu: Giải phương trình \( \log_a f(x) = t \) để tìm giá trị của \( x \).
4. Kiểm tra điều kiện: Đảm bảo rằng các nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện xác định của hàm logarit.

Phương pháp này giúp đơn giản hóa việc giải phương trình logarit phức tạp về dạng quen thuộc, đồng thời có thể tận dụng các công cụ giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm một cách nhanh chóng. Đây là một trong những kỹ thuật quan trọng trong chuyên đề phương trình logarit, thường xuất hiện trong các bài toán đại số.

Cách 2:

\( A.\log_a^2 f(x) + B.\log_a f(x) + C = 0 \Leftrightarrow A.(\log_a f(x))^2 + B.\log_a f(x) + C = 0 \).

Đây là phương trình dạng bậc hai đối với \( \log_a f(x) \), ta có thể tính nhanh nghiệm bằng máy tính.

2. Bài tập

Bài tập 1. Giải phương trình sau $ 4\log_3^2 \sqrt{x+1} – 6\log_9 (x+1) + 2 = 0 $

Lời giải

$() \Leftrightarrow \log _3^2(x + 1) – 3{\log _3}(x + 1) + 2 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{l}} {{{\log }_3}(x + 1) = 1}&{ \Rightarrow x = 2}\\ {{{\log }_3}(x + 1) = 2}&{ \Rightarrow x = 8} \end{array}} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là \( x = 2 \); \( x = 8 \).

Bài tập 2. Giải phương trình sau $\log_3 (3^x – 1) \cdot \log_3 (3^{x+1} – 3) = 12$

Lời giải

Điều kiện: \( x > 0 \)

$ () \Leftrightarrow \log_3 (3^x – 1) \cdot \log_3 3(3^x – 1) = 12 $

$ \Leftrightarrow \log_3 (3^x – 1) \cdot \left[\log_3 (3^x – 1) + 1\right] = 12 $

$ \Leftrightarrow \log_3^2 (3^x – 1) + \log_3 (3^x – 1) – 12 = 0 \quad (1) $

Đặt \( \log_3 (3^x – 1) = t \), phương trình (1) trở thành:

${t^2} + t – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{l}} {t = – 4}\\ {t = 3} \end{array}} \right.$

– \( t = -4 \Rightarrow \log_3 (3^x – 1) = -4 \Rightarrow x = \log_3 \frac{82}{81} \) (thỏa điều kiện)

– \( t = 3 \Rightarrow \log_3 (3^x – 1) = 3 \Rightarrow x = \log_3 28 \) (thỏa điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ \log_3 \frac{82}{81}, \log_3 28 \right\}.$

Bài tập 3. Giải phương trình sau $\log_{1-2x} \left( 6x^2 – 5x + 1 \right) – \log_{1-3x} \left( 4x^2 – 4x + 1 \right) – 2 = 0$

Lời giải

Điều kiện: \( x < \frac{1}{3}, x \neq 0 \)

$() \Leftrightarrow \log_{1-2x} [(1-2x)(1-3x)] – \log_{1-3x} (1-2x)^2 – 2 = 0$

$\Leftrightarrow \log_{1-2x} (1-3x) – 2 \log_{1-3x} (1-2x) – 1 = 0 \quad (1)$

Đặt \( t = \log_{1-2x} (1-3x) \Rightarrow \log_{1-3x} (1-2x) = \frac{1}{t} \).

Phương trình (1) trở thành: $t – \frac{2}{t} – 1 = 0 \Leftrightarrow t^2 – t – 2 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{l}} {t = – 1}\\ {t = 2} \end{array}} \right.$

– Với \( t = -1 \Rightarrow \log_{1-2x} (1-3x) = -1 \Rightarrow \frac{1}{1-2x} = 1-3x \)

$\Rightarrow 6x^2 – 5x = 0$

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \frac{5}{6}{\rm{ }}\left( {loai} \right)} \end{array}} \right.$

– Với \( t = 2 \Rightarrow \log_{1-2x} (1-3x) = 2 \Rightarrow 1 – 4x + 4x^2 = 1 – 3x \)

$ \Rightarrow 4{x^2} – x = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \frac{1}{4}} \end{array}} \right.$

Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{4} \).