Phương trình mũ \( A \cdot a^x + B \cdot b^x + C \cdot c^x = 0 \) là một trong những dạng toán quan trọng, thường xuất hiện trong các kỳ thi cuối kỳ và thi tốt nghiệp THPT. Việc nắm vững phương pháp giải giúp bạn xử lý nhanh các bài toán mũ phức tạp, tối ưu thời gian làm bài. Để đạt kết quả cao, hãy chăm chỉ luyện tập, giải bài tập thường xuyên và thảo luận cùng bạn bè. Nếu có thắc mắc, đừng ngần ngại bình luận để cùng nhau học tốt hơn!
1. Phương pháp giải
Với phương trình này, ta có thể giải theo cách chia cả hai vế của phương trình cho \( c^x \) (hoặc \( b^x \) hoặc \( a^x \)).
Khi đó ta được phương trình: $A \cdot \left( \frac{a}{c} \right)^x + B \cdot \left( \frac{b}{c} \right)^x + C = 0.$
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Giải phương trình sau $9^x – 3 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x = 0.$
Lời giải
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho \( 4^x \), ta được:
$\left( \frac{3}{2} \right)^{2x} – 3 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^x + 2 = 0 \quad ()$
Đặt \( t = \left( \frac{3}{2} \right)^x > 0 \), phương trình () trở thành
${t^2} – 3t + 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{l}} {t = 1}\\ {t = 2} \end{array}} \right.$
- \( t = 1 \Rightarrow \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1 \Rightarrow x = 0 \)
- \( t = 2 \Rightarrow \left( \frac{3}{2} \right)^x = 2 \Rightarrow x = \log_{\frac{3}{2}} 2 \)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = \log_{\frac{3}{2}} 2 \).
Bài tập 2. Giải phương trình sau $ 2^{2x+1} – 9 \cdot 2^{x+ x} + 2^{2x+2} = 0. $
Lời giải
$\begin{array}{l} () \Leftrightarrow 2 \cdot {2^{2{x^2}}} – 9 \cdot {2^{{x^2} + x}} + 4 \cdot {2^{2x}} = 0\\ \Leftrightarrow 2 \cdot {2^{({x^2} – x)}} – 9 \cdot {2^{{x^2} – x}} + 4 = 0\quad (1) \end{array}$
Đặt \( t = 2^{x^2 – x} > 0 \), thì phương trình (1) trở thành
$2{t^2} – 9t + 4 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{l}} {t = 4}\\ {t = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$
+ $t = 4$ $ \Rightarrow {2^{{x^2} – x}} = 4$ $ \Rightarrow {x^2} – x = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{l}} {x = – 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.$
+ \( t = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^{x^2 – x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x^2 – x = -1 \) (phương trình vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là \( x = -1 \) và \( x = 2 \).
Bài tập 3. Giải phương trình sau $3 \cdot 8^x + 4 \cdot 12^x – 18^x – 2 \cdot 27^x = 0.$
Lời giải
$() \Leftrightarrow 3 \cdot {\left( {\frac{8}{{27}}} \right)^x} + 4 \cdot {\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} – 2 = 0$
$ \Leftrightarrow 3 \cdot {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x}} \right]^3} + 4 \cdot {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x}} \right]^2} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} – 2 = 0.$
$\left[ {\begin{array}{{20}{l}} {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 1}\\ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x} = – 1\quad \left( {vo\,nghiem} \right)} \end{array}} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm là \( x = 1 \).
Phương trình \( A \cdot a^x + B \cdot b^x + C \cdot c^x = 0 \) là một trong những dạng toán mũ quan trọng, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi toán học. Việc nắm vững cách giải phương trình này không chỉ giúp bạn rèn luyện tư duy logic mà còn cải thiện kỹ năng biến đổi biểu thức. Nếu bạn muốn hiểu sâu hơn về phương trình \( A \cdot a^x + B \cdot b^x + C \cdot c^x = 0 \), hãy thử giải thêm bài tập, bình luận câu hỏi bên dưới hoặc tìm thêm tài liệu để nâng cao kiến thức!