Phương trình \( A \cdot {a^{2f(x)}} + B \cdot {a^{f(x)}} + C = 0 \) là một dạng quan trọng trong chuyên đề phương trình mũ, thường gặp trong các kỳ thi như thi cuối kỳ, thi tốt nghiệp THPT. Việc nắm vững phương pháp giải giúp học sinh rèn luyện tư duy, xử lý bài toán nhanh chóng. Bằng cách đặt ẩn phụ hợp lý, phương trình này có thể đưa về dạng bậc hai quen thuộc. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết cách giải và luyện tập với các bài tập minh họa!
1. Phương pháp giải phương trình $A \cdot {a^{2f(x)}} + B \cdot {a^{f(x)}} + C = 0$
Cách 1:
Đặt \( t = a^{f(x)} \) (\( t > 0 \)). Khi đó phương trình (1) trở thành: $At^2 + Bt + C = 0. \quad (2)$
Giải phương trình (2), đối chiếu điều kiện rồi trả lại ẩn cũ, ta được các phương trình cơ bản.
Cách 2:
$A \cdot {a^{2f(x)}} + B \cdot {a^{f(x)}} + C = 0$ $ \Leftrightarrow A \cdot {\left( {{a^{f(x)}}} \right)^2} + B \cdot {a^{f(x)}} + C = 0.$
Đây là phương trình dạng bậc hai đối với \( a^{f(x)} \), ta có thể tính nhanh nghiệm bằng máy tính.
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Giải phương trình sau: $ 8^{\frac{2}{x}} – 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0 $
Lời giải
Ta đặt \( t = 2^{\frac{3}{x}} \), khi đó phương trình trở thành: $ (t^2 – 8t + 12 = 0) $
Giải phương trình bậc hai: $2^{\frac{3}{x}} = 2 \Rightarrow x = 3$
$2^{\frac{3}{x}} = 6 \Rightarrow x = \frac{3}{\log_2 6}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ 3; \frac{3}{\log_2 6} \right\}$
Bài tập 2.Giải phương trình sau: $ 7^{\sqrt{x}} – 7^{1 – \sqrt{x}} + 6 = 0 $
Lời giải
Ta đặt \( t = 7^{\sqrt{x}} \), khi đó phương trình trở thành: $ t – \frac{7}{t} + 6 = 0 $
Nhân cả hai vế với \( t \): $ t^2 + 6t – 7 = 0 $
Giải phương trình bậc hai: $7^{\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow x = 0$
$7^{\sqrt{x}} = -7 \quad (\text{loại vì cơ số dương})$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \( x = 0 \).
Bài tập 3. Giải phương trình sau: $ 9^{\sin^2{x}} + 9^{\cos^2{x}} = 10 $
Lời giải
Ta đặt \( t = 9^{\sin^2{x}} \), khi đó phương trình trở thành: $ t + \frac{1}{t} = 10 $
Nhân cả hai vế với \( t \): $ t^2 – 10t + 1 = 0 $
Giải phương trình bậc hai: $ 9^{\sin^2{x}} = 1 $
$ 9^{\sin^2{x}} = 9 $
Từ đó, ta có hai trường hợp:
$\sin^2{x} = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
$\sin^2{x} = 1$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}.$
Bài tập 4. Giải phương trình sau $\left( \sqrt{2} – 1 \right)^x + \left( \sqrt{2} + 1 \right)^x – 2\sqrt{2} = 0 $
Lời giải
Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập phương trình $A \cdot {a^{2f(x)}} + B \cdot {a^{f(x)}} + C = 0$ đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố tư duy toán học và kỹ năng giải phương trình mũ. Dạng phương trình này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi quan trọng như thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT, đòi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp đặt ẩn phụ, giải bậc hai để tìm ra nghiệm chính xác. Bằng cách luyện tập đa dạng bài tập, bạn không chỉ tăng tốc độ giải toán mà còn cải thiện tư duy logic, giúp đạt điểm cao trong các bài kiểm tra.