Hàm số mũ được đặc trưng bởi biến số nằm ở vị trí số mũ (lũy thừa), điều này làm cho nó khác biệt so với các hàm số khác như hàm đa thức hay hàm tuyến tính. Để làm chủ chuyên đề này, các em cần có phương pháp học tập và ôn luyện hiệu quả. Trong bài viết này, HamSoMu sẽ giúp các em nắm vững lý thuyết và giải thành thạo mọi dạng bài tập về hàm số mũ. Cùng ôn tập và chinh phục phần kiến thức này một cách dễ dàng và hiệu quả nhất nhé!
1. Định nghĩa
Hàm số mũ là một hàm số có dạng: $ y = a^x, $
trong đó:
- \( a > 0 \): là cơ số, và \( a \neq 1 \).
- \( x \): là biến số thực.
- \( y \): là giá trị của hàm số tương ứng với \( x \).
Ví dụ:
– \( y = 2^x \): cơ số là \( 2 \).
– \( y = 5^{-x} \): cơ số là \( 5 \), biến số có dấu âm.
Hàm số mũ được định nghĩa với điều kiện \( a > 0 \), bởi vì nếu \( a \leq 0 \), giá trị của hàm số sẽ không xác định trong một số trường hợp (ví dụ: \( (-2)^{1/2} \)).
2. Tính chất của hàm số mũ
Hàm số mũ có nhiều tính chất quan trọng, giúp phân biệt nó với các loại hàm số khác. Dưới đây là các tính chất cơ bản:
2.1. Tập xác định
Hàm số mũ \( y = a^x \) được xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Điều này có nghĩa là hàm số mũ có giá trị tại mọi \( x \in \mathbb{R} \).
2.2. Tập giá trị
- Khi \( a > 1 \): Giá trị của \( y = a^x \) luôn dương và nằm trong khoảng \( (0, +\infty) \).
- Khi \( 0 < a < 1 \): Giá trị của \( y = a^x \) cũng nằm trong khoảng \( (0, +\infty) \).
2.3. Đơn điệu
– Hàm số \( y = a^x \) là hàm đồng biến nếu \( a > 1 \), nghĩa là khi \( x \) tăng, \( y \) cũng tăng.
– Hàm số \( y = a^x \) làhàm nghịch biến nếu \( 0 < a < 1 \), nghĩa là khi \( x \) tăng, \( y \) giảm.
2.4. Tiệm cận
Đường tiệm cận của hàm số mũ là trục \( x \) (hay trục hoành \( y = 0 \)). Khi \( x \to -\infty \), giá trị của \( y = a^x \) tiệm cận về \( 0 \).
2.5. Giá trị đặc biệt
- \( a^0 = 1 \): Bất kỳ số nào (trừ \( a = 0 \)) lũy thừa với \( 0 \) đều bằng \( 1 \).
- \( a^1 = a \): Bất kỳ số nào lũy thừa với \( 1 \) đều bằng chính nó.
2.6. Tính chất đại số
Hàm số mũ thỏa mãn các quy tắc lũy thừa sau:
- \( a^{x+y} = a^x \cdot a^y \).
- \( a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \).
- \( (a^x)^y = a^{x \cdot y} \).
3. Đồ thị của hàm số mũ
Đồ thị của hàm số mũ \( y = a^x \) có một số đặc điểm nổi bật:
Dạng đồ thị
- Khi \( a > 1 \): Đồ thị đi qua điểm \( (0, 1) \) và tăng nhanh theo chiều dương của trục \( x \). Khi \( x \to -\infty \), đồ thị tiến dần về \( 0 \).
- Khi \( 0 < a < 1 \): Đồ thị đi qua điểm \( (0, 1) \) và giảm dần khi \( x \) tăng.
Điểm đặc biệt trên đồ thị
- Đồ thị luôn đi qua điểm \( (0, 1) \) vì \( a^0 = 1 \).
- Đồ thị không cắt trục hoành vì giá trị của \( y \) luôn dương.
So sánh các hàm số với cơ số khác nhau
- Nếu \( a_1 > a_2 > 1 \), đồ thị của \( y = a_1^x \) sẽ tăng nhanh hơn đồ thị của \( y = a_2^x \).
- Nếu \( 0 < a_1 < a_2 < 1 \), đồ thị của \( y = a_1^x \) sẽ giảm nhanh hơn đồ thị của \( y = a_2^x \).
4. Hàm số mũ và lôgarit
Hàm số mũ có mối quan hệ mật thiết với hàm số lôgarit, vì hàm số lôgarit là hàm ngược của hàm số mũ. Nếu \( y = a^x \), thì \( x = \log_a(y) \), với \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \).
Mối quan hệ giữa chúng giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến lũy thừa và logarit trong toán học, đặc biệt khi cần tìm nghiệm của các phương trình mũ.
5. Phép biến đổi và bài toán liên quan đến hàm số mũ
Biến đổi để giải phương trình mũ
Để giải các phương trình mũ, ta thường sử dụng các tính chất lũy thừa và hàm ngược (logarit).
Ví dụ: Phương trình \( 2^x = 16 \): $ 2^x = 2^4 \implies x = 4. $
Giải hệ phương trình liên quan đến hàm số mũ
Ví dụ: Giải hệ phương trình: $ \begin{cases} 2^x + 2^y = 20, \\ 2^x – 2^y = 12. \end{cases} $
Lời giải
– Đặt \( a = 2^x \), \( b = 2^y \). Khi đó, hệ trở thành: $ \begin{cases} a + b = 20, \\ a – b = 12. \end{cases} $
Cộng và trừ hai phương trình: $ 2a = 32 \implies a = 16, \quad 2b = 8 \implies b = 4. $
Suy ra: $ 2^x = 16 \implies x = 4, \quad 2^y = 4 \implies y = 2. $
6. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {3^x};\)
b) \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\)
Lời giải
a) y = 3x
Ta lập bảng giá trị của hàm số y = 3x tại một số điểm như sau:
Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y = {3^x}.\)
b) Lập bảng giá trị của hàm số tại một điểm như sau:
Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\)
Bài tập 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = \log \left| {x + 3} \right|;\)
b) \(y = \ln \left( {4 – {x^2}} \right).\)
Lời giải
a) \(y = \log \left| {x + 3} \right|\) có nghĩa khi \(\left| {x + 3} \right| > 0\)
Mà \(\left| {x + 3} \right| \ge 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R}\) nên \(\left| {x + 3} \right| > 0\) khi \( x + 3 \not = 0 \Leftrightarrow x \not = -3\)
Vậy tập xác định của hàm số \(y = \log \left| {x + 3} \right|\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\}\).
b) \(y = \ln \left( {4 – {x^2}} \right)\) có nghĩa khi \(4 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow {x^2} < 4 \Leftrightarrow – 2 < x < 2.\)
Vậy tập xác định của hàm số \(y = \ln \left( {4 – {x^2}} \right)\) là \(\left( { – 2;2} \right).\)
Bài tập 3. Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng m(t) của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau t ngày được cho bởi hàm số \(m\left( t \right) = 13.{e^{ – 0,015t}}.\)
a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm t = 0.
b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?
Lời giải
a) \(m\left( 0 \right) = 13.{e^{ – 0,015.0}} = 13.\)
Vậy khối lượng của chất đó tại thời điểm t = 0 là 13 kg.
b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là \(m\left( {45} \right) = 13.{e^{ – 0,015.45}} = 6,619033468\)(kg).
Bài tập 4. Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức \(M\left( t \right) = 75 – 20\ln \left( {t + 1} \right),\,\,0 \le t \le 12\) (đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.
Lời giải
Khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng là
\(M\left( 6 \right) = 75 – 20\ln \left( {6 + 1} \right) = 36,08179702\)%.
Tóm lại: Hàm số mũ là công cụ mạnh mẽ trong toán học, mô tả tăng trưởng và suy giảm nhanh. Nó có giá trị lý thuyết và ứng dụng rộng rãi, giúp giải quyết hiệu quả nhiều bài toán phức tạp trong khoa học và đời sống.